導流模又稱前室模，是生產薄壁復雜實心型材常用的擠壓模具。采用導流模具生產型材時，坯料首先通過導流孔預成形，獲得與型材相似的幾何形狀，然后再進行二次變形，擠壓出各種斷面形狀的型材。導流孔不僅增大了坯料與型材的幾何相似性，有效地控制了金屬流動，減少了產品的扭擰和彎曲變形，而且改善了模具的受力條件，提高了模具壽命，所以其設計是否合理是導流模具設計的關鍵。傳統模具設計主要依賴設計者的經驗，經過反復試模修模，最后生產出合格零件，既費時又費力。利用數值仿真的方法不僅周期短、成本低，而且可以獲得材料的應力、應變、溫度、速度等現場難以測量的場量，對于掌握擠壓過程中材料在模具中的流動規律進而提高型材質量非常重要。為此，國內外許多學者采用數值模擬的方法對擠壓成形過程進行了大量的研究，并取得了較大的進展。

    目前關于擠壓過程的數值模擬研究大多采用拉格朗日法和歐拉法。采用拉格朗日法分析大變形的擠壓問題時，單元容易產生畸變，需要頻繁的網格重劃，導致體積損失過大，嚴重影響了計算精度；而采用歐拉法模擬時，需要利用復雜的數學映射來描述自由表面的運動狀況并且對材料所有可能流過的區域劃分網格，占用大量計算機內存，特別是分析薄壁、空心、復雜斷面型材時計算時間令人難以接受。ALE(Arbitrary Lagrangian Eulerian, ALE) 算法吸收了拉格朗日和歐拉算法的優點，通過引入一個獨立于物質構型和空間構型的參考構型，使得計算網格能夠任意移動，從而避免了單元畸變以及自由界面追蹤所帶來的困難。本文采用基于ALE算法的商業化軟件HyperXtrude對一異形鋁型材的擠壓過程進行數值模擬，以導流孔形狀為影響因素，采用Box-Behnken設計確定試驗方案建立分析模型，利用最小二乘法對模擬結果進行擬合，得到型材截面速度均方差的響應曲面公式，并以此為優化目標采用粒子群算法對導流孔形狀進行優化。

    導流模又稱前室模，是生產薄壁復雜實心型材常用的擠壓模具。采用導流模具生產型材時，坯料首先通過導流孔預成形，獲得與型材相似的幾何形狀，然后再進行二次變形，擠壓出各種斷面形狀的型材。導流孔不僅增大了坯料與型材的幾何相似性，有效地控制了金屬流動，減少了產品的扭擰和彎曲變形，而且改善了模具的受力條件，提高了模具壽命，所以其設計是否合理是導流模具設計的關鍵。傳統模具設計主要依賴設計者的經驗，經過反復試模修模，最后生產出合格零件，既費時又費力。利用數值仿真的方法不僅周期短、成本低，而且可以獲得材料的應力、應變、溫度、速度等現場難以測量的場量，對于掌握擠壓過程中材料在模具中的流動規律進而提高型材質量非常重要。為此，國內外許多學者采用數值模擬的方法對擠壓成形過程進行了大量的研究，并取得了較大的進展。

    目前關于擠壓過程的數值模擬研究大多采用拉格朗日法和歐拉法。采用拉格朗日法分析大變形的擠壓問題時，單元容易產生畸變，需要頻繁的網格重劃，導致體積損失過大，嚴重影響了計算精度；而采用歐拉法模擬時，需要利用復雜的數學映射來描述自由表面的運動狀況并且對材料所有可能流過的區域劃分網格，占用大量計算機內存，特別是分析薄壁、空心、復雜斷面型材時計算時間令人難以接受。ALE(Arbitrary Lagrangian Eulerian, ALE) 算法吸收了拉格朗日和歐拉算法的優點，通過引入一個獨立于物質構型和空間構型的參考構型，使得計算網格能夠任意移動，從而避免了單元畸變以及自由界面追蹤所帶來的困難。本文采用基于ALE算法的商業化軟件HyperXtrude對一異形鋁型材的擠壓過程進行數值模擬，以導流孔形狀為影響因素，采用Box-Behnken設計確定試驗方案建立分析模型，利用最小二乘法對模擬結果進行擬合，得到型材截面速度均方差的響應曲面公式，并以此為優化目標采用粒子群算法對導流孔形狀進行優化。

    2 優化模型的相關理論

    2.1 ALE算法基本理論

    ALE算法以物質運動的ALE模型為理論基礎，不同于拉格朗日或歐拉描述模型，ALE模型另外引進了一個獨立于物質構型(ΩX)和空間構型(Ωx)的參考構型(Ωξ)。計算網格的劃分是在參考構型中進行的，獨立于物體和空間運動的，可以根據需要自由選擇。根據任意單元體中的質量、動量和能量守恒定律，獲得參考坐標系下的控制方程：

    質量守恒方程： 

    動量守恒方程： 

    能量守恒方程：  

    式中ρ為材料的密度，wi、wj為物質點在ξ空間中的位置矢量對時間的導數，vi為物質點在空間中的速度矢量，Tji為定義在參考構型下的第一類皮奧拉-克希荷夫應力張量，fi為作用于物體中單位質量的體力，e為物體單位質量中的內能。

    在采用ALE算法求解具體問題時，需要引入正確的材料本構關系并對模型施加適當的邊界條件，然后對整個控制方程進行求解。

    2.2 響應曲面模型和Box-Behnken試驗設計

    響應曲面法(response surface methodology, RSM)，也稱回歸設計，是采用多元二次回歸方程來擬合因素和響應值之間的函數關系，通過對回歸方程的分析來尋求最優工藝參數，解決多變量問題的一種統計方法。RSM法與其他數據統計方法相比，不僅考慮了自變量之間的交互作用，提高了擬合精度，而且還可以運用圖形技術將二者之間的函數關系顯示出來，使結果更加直觀。本文選擇二階響應曲面方程，其模型可表示為： 

    式中，xi為設計變量，ε為殘余誤差，βo、βi、βii、βpi均為待定系數。

    Box-Behnken試驗設計是一種基于三水平的二階試驗設計方法，可以評價指標和因素之間的非線性關系，是RSM常用的試驗設計方法之一。Box-Behnken設計的每個因素只需要三個水平，與其他方法(如星點設計法)相比所需的試驗次數較少，效率更高，且所有的影響因素不會同時處于高水平，所有的試驗點都落在安全區域內，因此本文選取Box-Behnken試驗設計方法對導流孔的形狀進行優化設計。

    2.3 PSO算法基本原理

    粒子群優化算法（particle swarm optimization, PSO）是Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種以鳥類覓食行為為基礎的全局優化算法，因其原理簡單，算法實現容易，運行速度快，已被廣泛應用于機械、化工、生物醫學等領域。該算法模仿鳥類的群體覓食過程，將待優化問題的解看作為搜索空間中的一個粒子（鳥），解的優劣程度由適應函數決定。各粒子通過不斷追蹤自身所經過的最佳位置和整個種群所經過的最佳位置這兩個極值來更新自己的速度和位置，最終到達全局最優解所在的位置。

    3 模擬試驗方案的確定

    為了獲得最優的導流孔形狀，進而更好地控制材料在模具中的流動，提高型材質量，在保持其他工藝參數不變的情況下，選取導流孔不同部位的寬度作為優化變量，如圖1所示，并結合實際情況確定各個變量的范圍如表1所示。以模具出口型材截面上的金屬流速均方差(SDV)為優化目標，建立優化模型如下： 

    式中，n為所考慮截面內的節點個數；vi為出口截面上第i個節點的流速；v為出口截面上所有節點的平均流速。

表1 設計變量及其取值范圍

圖1 設計變量的位置

    選取6063鋁合金作為模擬材料，擠壓筒預熱溫度為450℃，坯料加熱溫度為480℃，擠壓比為31.2，模具與坯料間的對流換熱系數為3000 W/m2·℃，擠壓速度為2mm/s，模具工作帶處設為庫侖摩擦，摩擦系數為0.3，其他部位設置為粘性摩擦。將材料流經區域分為棒料、導流孔、工作帶和型材四個部分進行網格劃分，并建立分析模型如圖2所示，其中工作帶和型材部分采用三棱柱網格，導流孔和棒料部分采用四面體網格。將上述4個設計變量在各自范圍內取3個水平，采用Box-Behnken設計確定試驗方案，對所設計29組試驗方案進行數值模擬，并計算出相應的型材出口流速均方差，如表2所示（由于數據較多，在此只列出部分結果）。

圖2 分析模型
表2 Box-Behnken試驗設計表及計算結果

    4 響應曲面的建立和粒子群算法尋優

    根據表2中的數據，利用最小二乘法擬合響應曲面，得到型材出口速度均方差與導流孔形狀的響應面函數如下： 

    表3為本文模型的方差分析結果，模型較小的P值表明回歸模型對響應值的影響極為顯著；相關系數R-Squared為0.9864，表明模型擬合程度良好，誤差較小，可以用來擬合實驗結果。為了進一步驗證RSM預測結果與數值分析結果是否一致，本文另外設計五組試驗進行數值模擬，并與RSM預測結果進行比較，如表4所示，預測值與模擬結果之間的誤差均小于10%，說明RSM的預測結果比較準確，與實際情況比較吻合。

表3 二階模型的方差分析

表4 RSM預測結果與數值分析結果的比較

    為了獲得最佳的導流孔形狀參數，結合粒子群優化算法對上述響應面模型尋優，設置初始種群數目為40，慣性權重取0.8，學習因子取1.45，最大迭代次數為200。進化迭代次數與適應度值之間的關系如圖3所示，迭代20次左右，粒子達到最佳位置，得到最優導流孔形狀參數為a=15.58；b=8.45；c=6；d=15.47，此時RSM預測的型材截面速度均方差為0.35。

圖3 粒子群優化算法進化代數與適應度值關系

    5 優化結果與討論

    為了驗證優化結果的正確性，根據優化后的模具結構參數建模并進行數值模擬，得到的模具出口型材截面速度均方差為0.38，與RSM所預測的結果0.35幾乎一致。模具優化后型材截面速度分布與初始設計方案對比如圖4所示，可以看出初始設計方案中型材擠出模具后產生了較大的變形，尤其在幾個角上變形尤為明顯，而優化后型材變形明顯減小。在整體速度分布對比上，優化后模具出口處型材截面最大速度與最小速度之差僅為1.5mm/s，而初始計方案中的最大速度與最小速度差值達到20mm/s，速度均方差為5.4。在擠壓力方面，優化后導流孔對材料的分配更加合理，更有利于控制材料流動，因此成形所需的擠壓力（5710kN）較初始方案（5980kN）降低了5%。圖5為優化后型材截面的溫度分布圖，可以看出整個型材截面上溫度分布比較均勻，最高溫度與最低溫度的差值僅為10℃，完全符合實際生產的要求，也為獲得高質量型材提供了保證。綜上所述，采用數值模擬結合響應曲面法和粒子群算法對導流孔形狀進行優化是可行的，模具優化后不僅改善了金屬流動情況，減小了型材的變形，提高了型材質量，而且還降低了擠壓力，減少了能耗，從而為企業的實際生產過程提供了技術支撐。

圖4 初始方案與優化方案的速度對比圖

 
圖5 模具出口處鋁型材的溫度分布圖

    6 結論

    (1) 采用基于ALE算法的HyperXtrude軟件對一異形鋁型材擠壓過程進行了數值分析，得到了型材的速度、溫度分布和變形情況，分析了金屬在擠壓過程中的流動規律。

    (2) 以導流孔形狀為影響因素，以模具出口型材截面的速度均方差為優化目標，采用Box-Behnken設計確定試驗方案，結合曲面響應法和粒子群算法對鋁型材導流孔形狀進行了優化。

    (3) 與初始模具設計方案相比，模具優化后擠出的型材速度分布更加均勻，變形明顯減小，模具出口型材截面的速度均方差為0.38，僅為初始設計方案的7%，大大提高了鋁型材的質量。